Теорема Чаплыгина
Теоре́ма Чаплы́гина — теорема существования решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, разрешённого относительно старшей производной. Принадлежит С. А. Чаплыгину (1919 г.)[1]. Является одной из теорем метода дифференциальных неравенств.
Формулировка теоремы
Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение первого порядка с начальным условием в точке [math]\displaystyle{ x=a }[/math]:
| [math]\displaystyle{ y' = f(x,y), \quad x \in (a,b], }[/math] | (1.1) |
| [math]\displaystyle{ y(a) = y^a. }[/math] | (1.2) |
Чтобы сформулировать теорему Чаплыгина для задачи (1.1—1.2), понадобится ряд определений.
Определение. Нижним и верхним (барьерными) решениями задачи (1.1—1.2) называются соответственно функции [math]\displaystyle{ \underline \omega(x) }[/math] и [math]\displaystyle{ \overline \omega(x) }[/math], принадлежащие [math]\displaystyle{ C^1[a,b] }[/math], и такие, что
| [math]\displaystyle{ 1)\ \underline \omega(a) \lt y^a \lt \overline \omega(a), }[/math] | (2.1) |
| [math]\displaystyle{ 2) \begin{array}{c} \underline \omega'(x) \lt f(x, \underline \omega(x)), \\[.5ex] \overline \omega'(x) \gt f(x, \overline \omega(x)), \end{array} \ \forall x \in [a,b]. }[/math] | (2.2) |
Определение. Классическим решением задачи (1.1—1.2) называется функция [math]\displaystyle{ y(x) }[/math], принадлежащая [math]\displaystyle{ C^1(a,b] \cap C[a,b] }[/math] и удовлетворяющая уравнению (1.1) при каждом [math]\displaystyle{ x \in (a,b] }[/math] и начальному условию (1.2).
Теорема (Чаплыгина). Пусть существуют такие нижнее [math]\displaystyle{ \underline \omega(x) }[/math] и верхнее [math]\displaystyle{ \overline \omega(x) }[/math] решения задачи (1.1—1.2), что
| [math]\displaystyle{ \ f(x,y) \in C(\mathfrak B), }[/math] | (3.1) |
где [math]\displaystyle{ \mathfrak B \equiv [a,b] \times [\underline \omega(x), \overline \omega(x)] }[/math]. Тогда на отрезке [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] существует по крайней мере одно классическое решение [math]\displaystyle{ y(x) }[/math] задачи (1.1—1.2), и для каждого решения этой задачи и любого [math]\displaystyle{ x \in [a,b] }[/math] справедливо:
| [math]\displaystyle{ \underline \omega(x) \lt y(x) \lt \overline \omega(x). }[/math] | (3.2) |
См. также
Примечания
- ↑ Боголюбов, 1983, с. 516.
Литература
- Боголюбов А. Н. Математики. Механики. Биографический справочник. — Киев: Наукова думка, 1983. — 639 с.
- Комленко Ю. В. Теорема Чаплыгина для линейного дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом // Матем. заметки, 1967, 2, № 3. — С. 301—306.
- Мышкис А. Д. И. М. Виноградов. Чаплыгина теорема // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. — 1977—1985. // Математическая энциклопедия. Т. 5. — М.: Сов. энциклопедия, 1985.